Correzione compito in classe

Una semplice costruzione a partire dalla circonferenza di centro O 
e raggio OA consiste nell'intersecare il diametro perpendicolare 
ad OA con la circonferenza passante per A e di centro nel punto medio 
M del raggio perpendicolare a OA. Detto K il punto intersezione, la 
lunghezza di AK è quella del lato del pentagono regolare inscritto 
nella circonferenza data.
Una dimostrazione della validità della costruzione può essere svolta 
in due passi.
Innanzitutto, preso come unità il raggio della circonferenza data, 
	


, 
da cui 
	

In secondo luogo, osservando la figura a fianco e in particolare 
che i tre angoli segnati hanno ampiezza 2π/5, si capisce che, 

	



o anche,presa come unitaria la lunghezza di AB,

	



da cui
	



ovvero
	



da cui
	


	
e quindi
	


	
e anche
	


	
Si osserva in conclusione che 
	



ovvero l'angolo al centro che insiste sulla corda AB è 2π/5, quindi
AB è proprio il lato del pentagono regolare inscritto.

Le due aree di cui deve considerarsi il rapporto possono
essere descritte da   

 e 

 
e quindi il loro rapporto è
	


o anche, sviluppando il numeratore e dividendo l'espressione nella 
somma di due frazioni:
	

o meglio
	


il cui grafico può ricavarsi facilmente da tan(x) prima per traslazione 
di π/2 in direzione x nel verso negativo, poi simmetria rispetto all'asse y,
poi dilatazione lungo l'asse y, infine traslazione in direzione y 
nel verso negativo. Ecco un grafico in un sistema non monometrico:

Infine
	


per
	



ovvero